SEQUÊNCIA CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA – 7º ANO
Fonte: Dirección General de Planeamiento. Secretaria de Educación. Gobierno de La Ciudad de Buenos Aires. Grados de aceleración 6º/7º: material para el docente: matemática: 3º Tomo/coordinado por Alejandra Rossano y Maria Elena Cuter- 2ª ed. –Buenos Aires: Dirección General de Planeamiento de La Secretaria de Educación GCBA, 2005.
Atividades de ambientação: compasso
· Alunos desenham diversas circunferências de tamanhos diferentes em folha sulfite.
· Construção da régua não graduada (papel cartão e contact)
· Desenho abstrato utilizando somente circunferências
ATIVIDADE 1
Construções geométricas – 1a parte
Alunos copiam figuras de um folha de papel vegetal usando somente régua não graduada e compasso. Na consigna deverá ser dada a informação que as figuras ao se sobrepor precisam coincidir.
Socialização de como fizeram para copiar.
Ideia de centro e raio
FIGURA 1
FIGURA 2
ATIVIDADE 2
Material: uma corda e giz
Atividade em grupo (definir os grupos)
Discuta com seu grupo uma forma de marcar no pátio uma pista circular. Organizar os espaços onde cada grupo deve marcar a pista circular. Acompanhar a realização da atividade (se possível, fotografar).
Pedir quer respondam (oralmente). Talvez, alguns grupos sintam a necessidade de realizar em ação.
a) Qual é a máxima distância que se pode percorrer de uma borda da pista à outra em linha reta?
Em sala de aula (organizar os grupos para responderem as questões):
Discussão coletiva sobre a atividade
Retomar a questão a.
b) Que relação há entre o procedimento usado no pátio e a utilização do compasso para traçar uma circunferência. Anotar na lousa o que os alunos disseram.
Ideias de círculo, corda, diâmetro, circunferência e raio – introduzir vocabulário a partir das explicitações dos alunos nas questões a e b.
Para lembrar:
O círculo está formado pela circunferência e todos os seus pontos interiores.
Qualquer segmento que tem seus extremos em pontos de uma circunferência se chama corda.
Qualquer corda que passa pelo centro da circunferência se chama diâmetro.
O conjunto de pontos que se encontram na mesma distância de um ponto dado é a circunferência.
O ponto dado se chama centro da circunferência e a distância do centro a um ponto da circunferência (a abertura do compasso) se denomina raio.
Subgrupos
Respondam as questões:
1-) Que relação há entre o comprimento do raio e o comprimento do diâmetro?
2-) Comparem o comprimento de uma corda que não passa pelo centro e o comprimento do diâmetro.
Grupos apresentam conclusões
ATIVIDADE 3
Jogo para dois participantes
Regras do jogo:
- Cada jogador tem um círculo como o que mostra o desenho.
- Um jogador é o receptor e o outro é o emissor. O emissor coloca um ponto em qualquer parte do círculo sem mostrá-lo ao receptor a quem deve enviar uma mensagem indicando onde está localizado o ponto. O receptor deve marcar o ponto em seu próprio círculo.
- A mensagem não pode ter desenhos.
- O receptor tem que seguir as instruções que recebeu e colocar um ponto em seu próprio círculo.
- Se na mensagem há algo que não se entende, o receptor pode enviar a seu companheiro uma pergunta ou pedir esclarecimentos, sempre por escrito, que serão respondidas do mesmo modo.
- Quando ambos os jogadores considerarem que estão prontos, se reúnem e colocam o círculo em cima do outro, fazendo coincidir os centros, para ver se os pontos coincidem. Caso necessário, está permitido deixar um círculo parado e girar o outro para que os pontos coincidam.
- Se os pontos coincidirem, ambos os jogadores ganham o jogo.
a-) Quando terminarem o jogo, comparem suas mensagens como as dos seus companheiros. Analisem quais informações devem conter para que possam estar seguros que vão ganhar.
b-) Agora voltem a jogar, mas troquem as funções: quem enviou a mensagem passa a receber e vice-versa.
Observação da atividade
No 7º A, as duplas perceberam muito rápido a orientação “poder rodar a figura”, tornando as orientações escritas bem mais fáceis.
Uma dupla não percebeu que podia usar a régua graduada, então, utilizaram como unidade de medida uma borracha. As orientações eram: “o ponto está a uma borracha do ponto central, use esta aqui”, ou “use ela deitada do ponto central ao ponto”.
Uma dupla do 7º B quadriculou a circunferência e seguiu os comandos através de quadrantes.
Nesta atividade, os alunos puderam reafirmar os conceitos de circunferência, centro e raio. Nas orientações eles já usam o vocabulário matemático para ponto, centro e raio, mas para a circunferência, ainda usam as palavras “linha” ou “borda”.
ATIVIDADE 4
Esse problema é para resolver em duplas:
Ana e Paulo jogaram o jogo anterior.
O círculo seguinte era de Ana:
O círculo seguinte era de Paulo:
Sem sobrepor os círculos, é possível saber se os pontos vão coincidir?
Discutam como fazer para ter certeza e depois comprovem sobrepondo.
Escrevam instruções que permitam estar seguros se, dados os círculos com um ponto marcado em cada um deles, os pontos vão coincidir ou não.
Questão: É verdade que o procedimento que vocês empregaram serve somente quando os círculos têm o mesmo diâmetro?
Observação da atividade
Os grupos utilizaram os procedimentos do jogo para montarem as instruções. O movimento de perguntas e respostas foi tranqüilo. As maiores dificuldades foram para escrever as instruções do que entendê-las.
“Eu sei fazer, mas não consigo explicar”.
ATIVIDADE 5 - Ditado de figuras (Oferecer uma figura diferente para cada dupla.)
1ª parte: Uma dupla faz um ditado para outra dupla (por escrito), sem desenhos.
Uma dupla recebe uma figura e escreve instruções para outra dupla desenhá-la, sem vê-la.
2ª parte: As funções são trocadas: a dupla que desenhou escreve as instruções e vice-versa, porém com figuras diferentes.
FIGURA 1
FIGURA 2
FIGURA 3
Utilizaram, na maioria das vezes, a medida dos raios das figuras e onde estes se localizavam (utilizamos três desenhos diferentes). Quando as circunferências eram tangentes, eles utilizaram o termo “grudadas”, e foram entendidos pelas outras duplas; quando havia duas circunferências tangentes dentro de uma maior, eles utilizaram as frases: “Ande para o centro da figura 1,5 cm, essa vai ser a borda da outra circunferência que tem 2,5 cm de diâmetro”.
A troca de informações foi feita da mesma maneira que no jogo: uma dupla mandava a informação e a outra, se não entendesse, devolvia a folha com as perguntas. Esse movimento não aconteceu uma única vez, eles davam as instruções passo a passo.
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3ª parte
Comparação e discussão do desenho feito a partir do ditado que vocês fizeram para os colegas. Os desenhos ficaram iguais? Se sim, o que acham que ajudou? Se não, quais foram as diferenças? Por que ficaram diferentes?
Algumas discussões dos alunos
“Não, a figura ficou toda diferente porque eles não explicaram direito.”
“Sim eles ficaram iguais, pois nós demos medidas certas e exatas e boas explicações.”
“O primeiro não, mas o segundo sim. A dificuldade do primeiro é que um grupo não entendia o outro. E o que ajudou foram as medidas”
“1 - Deu certo, pois passaram a resposta correta.”
“2 – Não deu certo, eles conseguiram entender.”
“Não, a dupla passou a medida da circunferência mas não passaram o centro dela”
“Quanto mais detalhes a informação tiver, mais precisa será a figura.”
ATIVIDADE 6 - CONSTRUÇÃO com compasso
1-) Desenhe um ponto que atenda simultaneamente as duas condições seguintes:
Esteja a 5 cm de distância de A e esteja a 5 cm de distância de B. Quantos pontos cumprem essa condição?
X X
A B
A que distância deve estar A e B para que haja um único ponto que se encontre a 4 cm de cada um deles? E para que não haja nenhum?
7º A: Nenhuma dupla conseguiu perceber que encontrar todos os pontos que distam 5 cm do ponto A estão na circunferência de raio 5 cm e centro A. Apenas uma dupla utilizou o compasso nessa atividade, porém o utilizaram como uma régua.
7º B: Apenas uma dupla percebeu que tinham que construir as circunferências de raios 5 cm e centros em A e B.
7º C: Duas duplas conseguiram perceber.
Nesses casos, a professora interferiu, mobilizando os conhecimentos prévios sobre elementos de uma circunferência, com perguntas do tipo: “O que vocês sabem que poderia ajudar?”, “O que vimos que poderia servir nessa situação?”.
2-)
a) Dois pontos M e N estão a 6 cm um do outro. É possível encontrar pontos que estejam simultaneamente a 4 cm de M e de N? Quantos são?
E que estejam a 3 cm de M e de N? Quantos são?
E que estejam a 9 cm de M e N? Quantos são?
E que estejam a 1 cm de M e N? Quantos são?
b) No problema anterior, você percebeu que:
- às vezes há dois pontos que cumprem as condições solicitadas;
-às vezes há um só;
- às vezes não há nenhum.
Há outra possibilidade?
Todas as duplas perceberam que para a quantidade de pontos, havia uma relação entre o raio e a metade da distância de A e B
Explique em que caso ocorre cada uma dessas possibilidades.
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3-) Os pontos A e B estão a 5 cm de distância. Decida, antes de construir, quantos pontos cumprem as condições solicitadas. Depois, se necessário, comprove realizando a construção.
Quantos pontos é possível encontrar que estejam simultaneamente a 7 cm de A e de B?
Quantos pontos é possível encontrar que estejam simultaneamente a 3 cm de A e de B?
Quantos pontos é possível encontrar que estejam simultaneamente a 2,5 cm de A e de B?
Observações dos alunos.
Alunos verbalizaram que viram essa atividade como aplicação dos exercícios 1 e 2.
“Aqui a gente aplica o que fizemos nos outros dois, né prô?
Questão:
A partir das conclusões do problema anterior, discutam se é possível que exista um triângulo cujos lados tenham as seguintes medidas: 9 cm; 5 cm; 4 cm. E outro com
10 cm, 3 cm, e 6 cm?
Todas as duplas chegaram às conclusões a partir de tentativas de construções
“Não é possível fazer um triângulo de 9 cm, 5 cm e 5 cm, pois temos dois números menores e iguais. E no outro também não dá, pois um número é maior que o outro, tornando difícil a junção dos lados.”
“9 cm, 5 cm e 5 cm: É possível se a distância entre os pontos for 9 cm, e a medida dos raios for 5 cm, pois 5 é maior que a metade de 9.
10 cm, 3cm e 6 cm: não é possível de nenhum modo, pois 3 é menor que a metade de 10.”
4) Levando em conta a análise que fizeram na questão anterior, se tivessem de explicar como têm de ser as medidas dos lados de qualquer triângulo para que esse triângulo exista, que explicações dariam?
Perguntas:
“Olhando para as medidas dos lados do triângulo, como podemos afirmar que ele existe?”
“Quando um triângulo vai fechar?”
Respostas:
“Quando a soma de dois lados for maior que o outro lado”
“Quando o maior lado for maior que a soma dos outros dois”
Nesta hora, fizemos juntos vários exemplos de triângulos, verificando se os mesmos existiam ou não. Ora eu dava as medidas, ora eles davam as medidas.
Em todas as respostas, alguns reforçavam que a verificação tinha que acontecer com as três possibilidades de pares de lados, e outros reafirmavam que bastava comparar a soma dos dois menores com o maior.
5) Desenhe um triângulo cujos lados tenham o mesmo comprimento que os seguintes elementos. Utilize régua não graduada e compasso.
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Tivemos que retomar as funções do compasso. Muitos alunos queriam utilizar a régua graduada para as medições.
6) Desenhe um triângulo que tenha um lado de 7 cm, outro de 5 cm e outro de 6 cm. Inicie pelo lado de 7 cm, depois, construa outro triângulo, iniciando pelo lado de 5 cm e, finalmente, faça outro, começando pelo lado de 6 cm. Se você recortasse os três triângulos, eles coincidiriam se fossem sobrepostos? Antecipe uma resposta a essa pergunta antes de fazê-lo e depois verifique-as com suas construções.
Foi imediato para todos os alunos.
SE OS LADOS DE UM TRIÂNGULO TÊM A MESMA MEDIDA QUE OS LADOS DE OUTRO TRIÂNGULO, AMBOS TRIÂNGULOS COINCIDEM AO SEREM SUPERPOSTOS. SE AO SUPERPOR DOIS TRIÂNGULOS, FOR POSSÍVEL FAZÊ-LOS COINCIDIR COMPLETAMENTE, DIZEMOS QUE ESSES TRIÂNGULOS SÃO IGUAIS. SE NÃO COINCIDEM, DIZEMOS QUE SÃO DIFERENTES.
SE UM TRIÂNGULO TEM UM ÂNGULO RETO, SE CHAMA TRIÂNGULO RETÂNGULO. OS LADOS DE UM TRIÂNGULO RETÂNGULO QUE FORMAM O ÂNGULO RETO SE CHAMAM CATETOS. SE UM TRIÂNGULO TEM SEUS TRÊS ÂNGULOS AGUDOS, SE CHAMA TRIÂNGULO ACUTÂNGULO. SE UM TRIÂNGULO TEM UM ÂNGULO OBTUSO, SE CHAMA TRIÂNGULO OBTUSÂNGULO.
Alunos tinham a noção de ângulo agudo, reto e obtuso. Sistematizei o conceito de cada um com exemplos.
7) Atividade no caderno
Construa, se existir, os triângulos cujas medidas são:
a) 4 cm, 5 cm e 7 cm
b) 12 cm, 8 cm e 5 cm
c) 14 cm, 3 cm e 3 cm
d) 11 cm, 5 cm e 7 cm
Professoras
Raquel Boeri
Raquel Boeri
Tathiana Muricy
maio de 2011
_____________________________________________________________________Sequência Didática
Contas de dividir – 7º ano
Justificativas
A sequência de atividades aqui propostas, retoma a divisão, no sentido de analisar a relação D= c x d + r (r<d). Essa sequência visa também introduzir a ideia de incógnita . A opção de introduzir essa sequência justifica-se também, pelo fato da divisão de ser a divisão um conteúdo trabalhado nos anos anteriores com diferentes sentidos.
total de aulas:
1ª aula: fases 1,2 e 3
1ª fase – individual
Orientações didáticas
- apresentar aos alunos as atividades, ressaltando que a divisão que foi estudada no 6º ano, agora irá servir para ampliar o conhecimento sobre a matemática.
- talvez antes da atividade, seja interessante retomar os termos da divisão: dividendo, divisor, quociente e resto. Colocar algumas na lousa.
- material –seria bom dar uma folha avulsa para a resolução (fica mais fácil para ser recolhida e analisar as estratégias usadas).
- registrar as dúvidas que vão aparecendo. Quais os alunos que tentam resolver e quais estratégias são usadas. Quais aqueles desistem facilmente. Quais as intervenções que precisam ser feitas para que o aluno tente lidar com a tarefa.
1. Efetue uma divisão na qual o divisor seja 34, o quociente 18 e o resto12. a) Quantas soluções são possíveis? Explique o que pensou (use exemplos para ajudar na sua justificativa). b) Se existir mais de uma, mostre como encontrar todas as outras soluções. |
2ª fase – em duplas
Organizar os alunos em duplas.
a) Confrontar as soluções. Explicar como a tarefa foi realizada.
b) Escolher um para tornar pública.
Prof: registrar o que aconteceu nas duplas.
Fase 3 – Discussão coletiva
Chamar os representantes das duplas para apresentar as soluções. Escolher algumas duplas – aquelas com estratégias diferentes.
2ª aula (2º dia)- fases 4, 5 e 6
fase 4 - individual
Retomar o que foi feito na aula anterior. Dizer que continuarão o trabalho com as contas de dividir.
2. Efetue uma conta de dividir na qual o divisor seja 32 e o resto 27. a) Quantas soluções são possíveis? Explique o que pensou (use exemplos para ajudar na sua justificativa). b)Se existir mais do que uma, mostre como encontrar todas as outras situações. |
fase 5 – em duplas
Organizar os alunos em duplas.
a) Confrontar as soluções. Explicar como a tarefa foi realizada.
b) Escolher um para tornar pública.
Prof: registrar quais as diferenças entre o problema 1 e o problema 2 para os alunos?
Fase 6 – Discussão coletiva
Chamar os representantes das duplas para apresentar as soluções. Escolher algumas duplas – aquelas com estratégias diferentes.
Registro do prof: vocês fizeram alguma intervenção? Qual? Por que?
3º dia – fases 7, 8 e 9
fase 7 – individual
3. Se dividirmos 527 por 46 teremos como quociente 11 e como resto 21. a) Verifique se é verdade. b) Você pode encontrar outro número que dividido por 46 tenha resto 21? c) Quantas soluções são possíveis? Explique o que pensou (use exemplos para ajudar na sua justificativa). d) Se existir mais de uma, mostre como encontrar todas as outras soluções. |
fase 8 – duplas
fase 9 – discussão coletiva
Prof : registrar o que aconteceu durante a atividade. Como os alunos lidaram com as tarefas b,c,d – quais as estratégias utilizadas.
Vocês fizeram alguma intervenção? Alguma sistematização?
Dica: retomar aquele texto que lemos sobre as interações.
4º dia – fases 10, 11 e 12
fase 10 – individual
a) Quantas soluções são possíveis? Explique o que pensou (use exemplos para ajudar na sua justificativa). b) Se existir mais de uma solução, mostre como encontrar todas as outras soluções |
fase 8 – duplas
fase 9 – discussão coletiva
Registro do prof
O que aconteceu? Estabeleceram relação com a atividade da aula anterior? Vocês fizeram intervenção nesse sentido? Quais as estratégias utilizadas? Fizeram alguma sistematização? Algum registro? Como deu a comunicação matemática – quando teve que explicar (argumentar) sobre a sua forma de resolução? Quais os tipos de linguagem matemática apareceram?
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